【BZOJ2878】【NOI2012】迷失游乐园（动态规划）

题面

题解

记得以前考试的时候做过这道题目

这题的暴力还是非常显然的，每次\(dfs\)一下就好了。

时间复杂度\(O(n^2)\)

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              using namespace std;#define ll long long#define RG register#define MAX 111111inline int read(){ RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=-1,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*t;}struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];int h[MAX],cnt=1;inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}double ans;bool vis[MAX];int n,m;void dfs(int u,double p,int len){ int tot=0;vis[u]=true; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) if(!vis[e[i].v])++tot; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) if(!vis[e[i].v]) dfs(e[i].v,p/tot,len+e[i].w); vis[u]=false; if(!tot)ans+=p*len;}int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;++i) { int u=read(),v=read(),w=read(); Add(u,v,w);Add(v,u,w); } for(int i=1;i<=n;++i)dfs(i,1.0/n,0); printf("%.5lf\n",ans); return 0;}

发现到有一棵树的部分数据点

考虑一下树的答案

显然是以当前点为根节点，到达它所有叶子的路径长度的期望

显然可以树型\(dp\)+换根解决，复杂度\(O(n)\)

综合暴力可以拿到\(80\)分

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              using namespace std;#define ll long long#define RG register#define MAX 111111inline int read(){ RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=-1,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*t;}struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];int h[MAX],cnt=1;inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}double ans;bool vis[MAX];int n,m;void dfs(int u,double p,int len){ int tot=0;vis[u]=true; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) if(!vis[e[i].v])++tot; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) if(!vis[e[i].v]) dfs(e[i].v,p/tot,len+e[i].w); vis[u]=false; if(!tot)ans+=p*len;}namespace Tree{ int son[MAX]; double E[MAX],ans,E2[MAX]; void dfs(int u,int ff) { for(int i=h[u];i;i=e[i].next) { int v=e[i].v;if(v==ff)continue; ++son[u];dfs(v,u);E[u]+=E[v]+e[i].w; } if(son[u])E[u]/=son[u]; } void DFS(int u,int ff,int w) { if(u==1)E2[u]=E[u]; else { E2[u]=E[u]*son[u]; if(son[ff]>1)E2[u]+=(E2[ff]*son[ff]-E[u]-w)/(son[ff]-1); E2[u]+=w; E2[u]/=(son[u]+1); ++son[u]; } ans+=E2[u]; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) if(e[i].v!=ff)DFS(e[i].v,u,e[i].w); } void Solve() { dfs(1,0);DFS(1,0,0);ans/=n; printf("%.5lf\n",ans); }}int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;++i) { int u=read(),v=read(),w=read(); Add(u,v,w);Add(v,u,w); } if(m==n-1){Tree::Solve();return 0;} for(int i=1;i<=n;++i)dfs(i,1.0/n,0); printf("%.5lf\n",ans); return 0;}

剩下的问题是如何解决\(n=m\)，也就是基环树的问题

我们这样考虑。

首先把环给拉出来，拉直，然后一条边从头连到尾

那么，这样子就是一个环，然后每个点上面挂着一些点

我们显然可以计算出每个点向下的期望，现在要算的是向上的期望

因为向上的期望只可能在环上走，所以枚举所有环上的点，依次考虑每个点的期望

因为在环上只有三种走法，向左，向右，走向子树

因此，对于每个环上的点，暴力\(dfs\)一遍，计算它到达长度的期望，

这个长度显然是到达某个环上的点之后，进入了这个点的子树。

这样子再像树型\(dp\)一样从上往下转移一次就好了。

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              using namespace std;#define ll long long#define RG register#define MAX 111111inline int read(){ RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=-1,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*t;}struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];int h[MAX],cnt=1;inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}int n,m,son[MAX],root;double E[MAX],ans,E2[MAX];bool incir[MAX],vis[MAX];int fa[MAX],cir[MAX],tot;void dfs(int u){ vis[u]=true; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) { int v=e[i].v;if(vis[v]||incir[v])continue; ++son[u];dfs(v);E[u]+=E2[v]+e[i].w; } if(son[u])E2[u]=E[u]/son[u]; if(u!=root)++son[u];}void DFS(int u){ vis[u]=true; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) { int v=e[i].v;if(vis[v]||incir[v])continue; E[v]+=(E[u]-E2[v]-e[i].w)/max(1,son[u]-1)+e[i].w; DFS(v); }}void dfscir(int u,int ff){ vis[u]=true;fa[u]=ff; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) { int v=e[i].v;if(v==ff)continue; if(incir[v])continue; if(vis[v])//Circle { for(int j=u;j!=v;j=fa[j]) cir[++tot]=j; cir[++tot]=v; for(int j=1;j<=tot;++j)incir[cir[j]]=true; } else dfscir(v,u); }}double g[MAX],f[MAX];void dfs(int u,int ff){ bool fl=false;g[u]=0; for(int i=h[u];i;i=e[i].next) { int v=e[i].v;if(v==root||v==ff||!incir[v])continue; fl=true;dfs(v,u); g[u]+=g[v]+e[i].w; } if(u==root)return; int k=son[u];if(!k)++k; if(!fl)g[u]=E[u]/k; else k=son[u]+1,g[u]=(g[u]+E[u])/k;}int main(){ n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;++i) { int u=read(),v=read(),w=read(); Add(u,v,w);Add(v,u,w); } if(m==n-1){root=1;dfs(1);memset(vis,0,sizeof(vis));DFS(1);} else { dfscir(1,0);memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=tot;++i)root=cir[i],dfs(cir[i]); for(int i=1;i<=tot;++i)root=cir[i],dfs(cir[i],0),f[cir[i]]=g[cir[i]]; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=tot;++i)son[cir[i]]+=2,E[cir[i]]+=f[cir[i]]; for(int i=1;i<=tot;++i)root=cir[i],DFS(cir[i]); } for(int i=1;i<=n;++i)ans+=E[i]/son[i];ans/=n; printf("%.5lf\n",ans); return 0;}